इकाई सदिश $a, b$ और $c$ समतलीय हैं। एक इकाई सदिश $d$ उनके लंबवत है। यदि $(a \times b) \times (c \times d) = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$ और $a$ तथा $b$ के बीच का कोण $30^\circ$ है,तो $c$ क्या है?

यदि $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = c_{1}\hat{i} + c_{2}\hat{j} + c_{3}\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं और $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 5$,$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$ है,तो $122(c_{1} + c_{2} + c_{3})$ का मान....... है।

$[i, k, j] + [k, j, i] + [j, k, i]$

कथन-$1$: सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समतलीय (coplanar) होते हैं यदि और केवल यदि $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ हो।
कथन-$2$: सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ हो,जहाँ $\vec{u} \times \vec{v}$ एक सदिश है जो $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के तल के लंबवत है।

एक चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $A \equiv (-1, 2, 3)$,$B \equiv (3, -2, 1)$,$C \equiv (2, 1, 3)$ और $D \equiv (-1, -2, 4)$ हैं।

यदि सदिशों $\bar{a}, \bar{b}$ और $\bar{c}$ के लिए $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4$ है,तो $[\bar{a} \times \bar{b}, \bar{b} \times \bar{c}, \bar{c} \times \bar{a}] = \dots$